Các Bài Tập Xác Suất Quy Luật Phân Phối Chuẩn

Quy luật phân phối chuẩn, còn được biết đến với cái tên phân phối Gauss, là một trong những mô hình toán học quan trọng nhất trong xác suất thống kê. Nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ dự đoán thời tiết đến phân tích thị trường chứng khoán. Hiểu rõ về quy luật phân phối chuẩn và cách giải các bài tập liên quan là điều cần thiết cho bất kỳ ai muốn nắm vững kiến thức xác suất thống kê.

Bài Tập Về Tính Toán Xác Suất

Bài Tập 1: Tính Xác Suất Của Biến Ngẫu Nhiên

Giả sử chiều cao của học sinh lớp 12 tại một trường trung học tuân theo quy luật phân phối chuẩn với trung bình là 170cm và độ lệch chuẩn là 5cm. Tính xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên có chiều cao:

a) Nằm trong khoảng từ 165cm đến 175cm.
b) Lớn hơn 180cm.
c) Nhỏ hơn 160cm.

Lời giải:

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng bảng phân phối chuẩn hóa (bảng Z) hoặc máy tính có chức năng tính toán xác suất của phân phối chuẩn.

Bước 1: Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên.

Ta chuyển đổi biến ngẫu nhiên chiều cao (X) sang biến ngẫu nhiên chuẩn hóa (Z) bằng công thức:

Z = (X - μ) / σ

Trong đó:

• X là giá trị của biến ngẫu nhiên chiều cao.
• μ là giá trị trung bình của phân phối (μ = 170cm).
• σ là độ lệch chuẩn của phân phối (σ = 5cm).

Bước 2: Tra bảng Z hoặc sử dụng máy tính để tìm xác suất tương ứng.

a) Xác suất để chiều cao nằm trong khoảng từ 165cm đến 175cm:

P(165 ≤ X ≤ 175) = P((165-170)/5 ≤ Z ≤ (175-170)/5) = P(-1 ≤ Z ≤ 1)

Tra bảng Z, ta có:

P(-1 ≤ Z ≤ 1) = Φ(1) - Φ(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

Vậy xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên có chiều cao nằm trong khoảng từ 165cm đến 175cm là 68.26%.

b) Xác suất để chiều cao lớn hơn 180cm:

P(X > 180) = P(Z > (180-170)/5) = P(Z > 2) = 1 - Φ(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

Vậy xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên có chiều cao lớn hơn 180cm là 2.28%.

c) Xác suất để chiều cao nhỏ hơn 160cm:

P(X < 160) = P(Z < (160-170)/5) = P(Z < -2) = Φ(-2) = 0.0228

Vậy xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên có chiều cao nhỏ hơn 160cm là 2.28%.

Bài Tập 2: Ứng Dụng Quy Tắc 3 Sigma

Theo quy tắc 3 sigma, có khoảng 99.73% dữ liệu nằm trong khoảng 3 độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình. Áp dụng quy tắc này vào bài toán trên, hãy tính khoảng chiều cao chứa 99.73% học sinh lớp 12 tại trường trung học.

Lời giải:

Khoảng chiều cao chứa 99.73% học sinh sẽ nằm trong khoảng:

(μ - 3σ, μ + 3σ) = (170 - 3*5, 170 + 3*5) = (155cm, 185cm)

Vậy, có thể kết luận rằng 99.73% học sinh lớp 12 tại trường trung học có chiều cao nằm trong khoảng từ 155cm đến 185cm.

Kết Luận

Bài viết đã trình bày Các Bài Tập Xác Suất Quy Luật Phân Phối Chuẩn, bao gồm tính toán xác suất của biến ngẫu nhiên và ứng dụng quy tắc 3 sigma. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về quy luật phân phối chuẩn và cách giải các bài tập liên quan.

Bạn muốn tìm hiểu thêm về các bài tập xác suất quy luật phân phối chuẩn? Hãy liên hệ với chúng tôi qua Số Điện Thoại: 0936238633, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: 408 An Tiêm, Hà Khẩu, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.